Guten Morgen, Ich habe eine Aufgabe bekommen, in der man zeigen soll, dass die Potenzmenge von der Menge X genau 2^n viele Elemente hat. 1 Potenzmenge von A, d.h. 2A = {X: X ⊆ A}. Für X ∈ 2A definiert f (X)=(x1 Beispiel (Binomischer Lehrsatz - Beweise von (1) und (2)). Seien x,y ∈ R. 2 Beweis: Binomischer Lehrsatz I. Beweis zu Teil b): durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang (n = 0): Es gilt. (a + b)0 = (0. 0.) a0b0 = 1. 3 Beweisen Sie die Behauptung mit Hilfe der vollständigen Induktion. Zeigen Sie, dass somit aus dem Binomischen Lehrsatz folgt. zu (a). 4 Mit dem Binomischen Lehrsatz lassen sich natürliche Potenzen von Binomen spielend leicht ausmultiplizieren. Wie du diesen Satz mit der vollständigen Induktion einfach und intuitiv. 5 Der Binomische Lehrsatz Voraussetzung Behauptung Beweis. Beweis. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang für n = 0: (a +b) 0 = 1 = A. 0 0. B. a. 0. b. 0 = ÿ. 0 k=0. A. 0 k. B. a. k. b. 0≠k. Induktionsschritt n. Ò. æ n +1: Annahme: (a +b) n = ÿ. n k=0. A. n k. B. a. k. b. n≠k. gilt für ein beliebiges. 6 Beweis. Der binomische Lehrsatz kann mittels vollständiger Induktion bewiesen werden, indem die Aussage durch Nachrechnen zunächst für ein spezielles \(n\) (z. B. für \(n=0\)) überprüft wird und anschließend gezeigt wird, dass unter der Annahme, die Aussage gelte für ein konkretes \(n\), dann auch die entsprechende Aussage für dessen. 7 Beweis. Der Beweis erfolgt durch vollst andige Induktion uber n. Der Indukti-onsanfang f ur n = 2 ist die bekannte binomische Formel: (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 = 2 0 x2y0 + 2 1 x1y1 + 2 2 x0y2: Nehmen wir nun an wir haben die Gleichung schon f ur n gezeigt, und wollen sie jetzt f ur n+1 beweisen. Bevor wir mit einer etwas technischen Umformung die. 8 Wir beweisen mit der vollständigen Induktion den Binomischen Lehrsatz für Matrizen, der nur gilt, falls die Matrixmultiplikation kommutativ Aufgab. 9 Beweis. Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden. Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis. mächtigkeit potenzmenge beweis 10 beweis potenzmenge 2^n 12